Ständigt denne Baumol

Produktionskostnaden per sittplatskm i SL:s busstrafik har vuxit med 5,6 procent per år i fasta priser mellan 1998 och 2010. Detta beror bland annat på Baumols sjukdom (se tidigare inlägg). Kostnadsökningen kan alltså förklaras delvis av:
- en svag produktivitetsutveckling i trafiken,
- en lång period av reallöneökningar och
- en hög löneandel i totalkostnaden

Begreppet Baumols sjukdom brukar dyka upp i diskussionerna om den offentliga sektorns finansiering, inte minst när det gäller vård, omsorg och skola. Baumols tankegång utgår från att produktiviteten utvecklas olika snabbt i olika delar av ekonomin.

Löneutvecklingen i sektorer med snabb produktivitetstillväxt används normalt som riktmärke för andra sektorer, även om produktiviteten växer långsamt i dessa. I sektorer med långsam produktivitetstillväxt kommer därför lönekostnaderna att öka snabbare än i sektorer med snabb tillväxt.

Baumols teser sägs strida mot klassisk nationalekonomi där det hävdas att produktivitet och löneutveckling följs åt.

Låt oss nu göra en enkel teoretisk betraktelse över den baumolska åkomman.

Kostnadsmodell

För en verksamhet som producerar en viss typ av tjänst antas att TC(t)= W(t)*N(t) + ­K(t) + M(t), där

TC(t) = verksamhetens totalkostnad

W₀(t) = genomsnittlig lön per anställd

W₁(t) = genomsnittlig lön per skattebetalare

N(t) = arbetade timmar per år

K(t)= kapitalkostnad per år

M(t) = kostnad för insatsvaror per år

Q(t) = produktion per år

A(t) = verksamhetens produktivitet Q(t)/N(t)(1)

Genom att dividera med produktionen Q(t) får vi enhetskostnaden AC(t) = TC(t)/Q(t):

AC(t) = W(t)*N(t)/Q(t) + K(t)/Q(t) + M(t)/Q(t)

Sedan sätter vi in produktivitetsuttrycket A(t) = Q(t)/N(t) i formeln, vilket ger:

AC(t)= W(t)/A(t) + K(t)/Q(t) + M(t)/Q(t)

En konstant kontinuerlig procentuell förändring per tidsenhet kan generellt uttryckas med

X(t) = X₀e^xt, där variabeln X(t) startar i X₀ och sedan växer med (x) procent per tidsenhet, t.ex. (x) procent per år. I fortsättningen används detta uttryck i formlerna för TC(t) respektive AC(t) och (t) får representera enskilda år under en viss tidsperiod.

För att analysera Baumols sjukdom antar vi att verksamheten är optimal i utgångsläget och alltså inte kan göras mer effektiv. Det innebär att produktiviteten A(t) är konstant, vilket är lika med att den har nolltillväxt från och med utgångsåret. Med hjälp av uttrycket i det föregående stycket kan A(t) nu skrivas som A₀e^0*t, vilket kan förenklas till A₀. Till slut får vi således att

TC(t) = Q₀e^qt * W₀/A₀*e^wt + K₀e^kt + M₀e^mt och

AC(t) = W₀/A₀*e^wt + K₀e^kt/Q₀e^qt + M₀e^mt/Q₀e^qt = W₀/A₀*e^wt + K₀/Q₀*e^(k-q)t + M₀ /Q₀*e^(m-q)t

Vi antar vidare att verksamheten bedrivs av en enda producent i ett område med befolkningen B(t) och där summan av antalet skattebetalare är S(t). Verksamheten är den enda leverantören i området av just denna typ av tjänst och den finansieras med biljett- respektive skatteintäkter. Den andel av verksamhetens kostnad som finansieras av kunder är lika med (1-α) procent varför den andel som finansieras med skatter är (α) procent. Skattesatsen sk(t) definierar vi som skatteintäkten per skattebetalare och inkomst. Sk(t) kan man kalla den teoretiska skattesatsen, den skattesats som precis uppfyller finansieringsvillkoret för skattedelen.

Tjänsternas pris p(t) beslutas av de ansvariga för verksamheten och sätts som ett genomsnittspris. Produktionen Q(t) och kostnaderna för kapital K(t) och nödvändiga insatsvaror M(t) antas ha en likformig utveckling. Med det menas att kapitalkostnaden och kostnaden för insatsvaror ökar lika mycket som den årliga produktionstillväxten, dvs. q = k = m.

Antalet skattebetalare S(t) antas utgöra en fast andel av befolkningen i området och växer med (s) procent per år, i samma takt som befolkningsökningen. Marknaden för verksamheten befinner sig i jämvikt och produktionen Q(t) är därför lika med efterfrågan D(t).

För att verksamhetskostnaderna ska kunna täckas med biljettintäkter och skatteintäkter måste två villkor vara uppfyllda:

1. Biljettintäkterna R(t) ska motsvara andelen (1-α) av totalkostnaderna TC(t).

R(t) = (1-α)*TC(t) = (1- α)* Q(t)*AC(t) men

R(t) = p(t)*Q(t) varför

p(t)*Q(t) = (1-α)*Q(t)*AC(t)

Prisvillkoret är alltså

p(t) = (1-α)*AC(t)

och med förutsättningen ovan att q = k = m kan det tecknas

p(t) = (1-α)*(W₀/A₀*e^wt + K₀/Q₀ + M₀/Q₀)

2. Skatteintäkterna SK(t) är lika med den teoretiska skattesatsen sk(t) multiplicerad med antalet skattebetalare S(t) och genomsnittsinkomsten per skattebetalare W₁(t). De ska täcka andelen (α) av totalkostnaderna TC(t). Finansieringsvillkoret för skattedelen kan då sammanfattas med

SK(t) = sk(t)*S(t)*W₁(t) = α*TC(t)

sk(t)*S₀e^st * W₁e^wt(2) = α*(Q₀e^qt *W₀/A₀*e^wt + K₀e^kt + M₀e^mt)

sk(t) = α*[Q₀e^(q-s)t *W₀/(W₁A₀S₀) + (K₀e^kt + M₀e^mt)/S₀e^st * W₁e^wt]

sk(t) = α*[Q₀e^(q-s)t *W₀/(W₁A₀S₀) + (K₀e^(k-s-w)t + M₀e^(m-s-w)t)/S₀W₁],

men eftersom vi antagit att q = k =m kan villkoret för skattefinansieringen uttryckas med

sk(t) = α*[Q₀e^(q-s)t *W₀/(W₁A₀S₀)  + (K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

Pris och skatt vid olika antaganden – ett par exempel

Som framgår av de ovan härledda uttrycken är det många faktorer som påverkar priset p(t) och skattesatsen sk(t). Nedan illustreras detta i två exempel med olika antaganden för produktionstillväxt (q) och befolkningstillväxt/tillväxt av antal skattebetalare (s). Men först deriverar vi p(t) och sk(t) med avseende på (t).

p´(t) = (1-α)*w*W₀/A₀*e^wt

p´´(t) = (1-α)*w² *W₀/A₀*e^wt                          

sk´(t) = α*[(q-s)*Q₀e^(q-s)t * W₀/(W₁A₀S₀)  + (q-s-w)*(K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

sk´´(t) = α*[(q-s)² *Q₀e^(q-s)t * W₀/(W₁A₀S₀)  + (q-s-w)² *(K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

a) Det första exemplet är typiskt för ett område där befolkningen och produktionen växer lika snabbt.  Uttryckt på formelspråk antar vi alltså att q – s = 0.

Pris

Produktionen (Q₀), kostnaderna (K_0, W₀ och M₀) och produktiviteten (A₀) antas vara givna i utgångsläget liksom parametern (α) som bestämmer fördelningen mellan biljettintäkter och skatteintäkter. Enligt prisformeln bestäms då enhetskostnaden AC(t) och priset p(t) enbart av löneutvecklingen (w).

p(t) = (1-α)*(W₀/A₀*e^wt + K₀/Q₀ + M₀/Q₀)

Vi kan notera att prisderivatan p´(t) = (1-α)*w*W₀/A₀*e^wt är positiv och växande, förutsatt att inte löneutvecklingen är negativ.

Skatt

När q – s = 0 kan skattesatsen sk(t) och dess förstaderivata sk´(t) formuleras som

sk(t) = α*[Q₀*W₀/(W₁ A₀S₀) + (K₀ + M₀)*e^-wt/(S₀ W₁]

sk´(t) = -α*w*(K₀ + M₀)*e^-wt/S₀W₁ < 0

Även skattesatsen sk(t) förändras enbart beroende på  löneutvecklingen (w), men dock på ett helt annat sätt än priset. Eftersom löneutvecklingen förekommer som en negativ exponent (e^-wt) i uttrycket för sk(t) är förstaderivatan sk´(t) negativ, vilket indikerar att den teoretiska skattesatsen sk(t) sjunker med tiden. Ett specialfall uppkommer när (K₀ + M₀) är lika med noll, alltså när verksamheten endast utförs med personal. Då är också förstaderivatan sk´(t) lika med noll, vilket innebär att den teoretiska skattesatsen sk(t) konstant.

b) I det andra exemplet utgår vi från att produktionen ökar snabbare än befolkningen/antalet skattebetalare, med andra ord antar vi att q – s > 0

Pris

Uttrycket för priset påverkas inte av de nya förutsättningarna utan här får vi samma uttryck som i exempel a), dvs.

p(t) = (1-α)*(W₀/A₀*e^wt + K₀/Q₀ + M₀/Q₀)

Skatt

Men uttrycket för skattesatsen sk(t) skriver vi nu som

sk(t) = α*[Q₀e^(q-s)t *W₀/(W₁A₀S₀)  + (K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

sk´(t) = α*[(q-s)* Q₀e^(q-s)t * W₀/(W₁A₀S₀)  + (q-s-w)*(K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

sk´´(t) = α*[(q-s)² *Q₀e^(q-s)t * W₀/(W₁A₀S₀)  + (q-s-w)² *(K₀ + M₀)*e^(q-s-w)t/S₀W₁]

Det inses lätt att i detta exempel är andraderivatan sk´´(t) positiv. Det betyder att skattesatsen sk(t) har en minimipunkt vid den tidpunkt (t_min) där förstaderivatan sk´(t) är lika med noll. Minimipunkten kan bestämmas med hjälp av formlerna ovan.

Vi får då att

t_min = 1/w*ln[(w+s-q)*(K₀ + M₀)*A₀/((q-s)*Q₀*W₀)]

För att t_min ska kunna beräknas måste gälla att

(w+s-q)/(q-s) > Q₀*W₀/[(K₀ + M₀)*A₀]

I annat fall är ln-funktionen (naturliga logaritmen) odefinierad och någon minimipunkt existerar inte.

Slutsatser

Analysen i denna korta studie görs med en enkel kostnadsmodell och några förenklade antaganden. Ett sådant antagande är att produktion, kapitalkostnader och kostnader för insatsvaror förändras i samma takt. 

Modellen inklusive exemplen kan sägas beskriva en verksamhet där alla delar förändras proportionellt utan tillskott av extra resurser. Till exempel kan detta innebära att inga resurser läggs på att höja tjänsteutbudets kvalitet eller sätts av för att förbättra produktionen på annat sätt. Det enda som sker är en anpassning till ökad produktion och inget mer.

Men som analysen visat kan även denna förenklade kostnadsmodell ge en fingervisning om hur pris och skatt påverkas av Baumols sjukdom. För att få mer kunskap om dessa förhållanden måste naturligtvis mer fördjupade studier göras.

Några iakttagelser:

När vi antar att befolkning och produktion förändras i samma takt (q – s = 0) och att produktiviteten är konstant (A(t) = A₀) bestäms tillväxten i enhetskostnad AC(t) och pris p(t) av lön och andel lönekostnader i produktionen; ju kraftigare lönetillväxt och ju större lönekostnadsandel, desto snabbare ökar enhetskostnaden respektive priset. Enhetskostnaden och priset ökar även vid oförändrad produktion (q = k = m = 0).

Hur den teoretiska skattesatsen sk(t) påverkas är en litet mer komplicerad fråga. Den kan öka eller minska beroende på befolkningstillväxt, verksamhetens omfattning etc. men påverkas också av andelen lönekostnader i verksamheten.

När vi antar att q – s = 0 och att produktionskostnaden inte enbart utgörs av lönekostnader kommer skatteintäkterna att växa snabbare än verksamhetens produktionskostnad. Detta resulterar i att den teoretiska skattesatsen sk(t) sjunker med tiden. Kurvans nedåtlutning blir brantare ju mindre lönekostnadsandelen är, enligt illustrationen i figuren.

När produktion och befolkning förändras i samma takt stiger alltså priset på tjänsten samtidigt som den teoretiska skattesatsen faller.  Den teoretiska skattesatsens nedåtgående trend skulle kunna utnyttjas som finansieringskälla på olika sätt(3). Om den faktiska skattesatsen behölls oförändrad kunde överskjutande skatteintäkter användas till att t.ex. spara i ladorna för kärvare tider, skjuta upp eventuella prishöjningar eller satsa på förbättrad produktivitet, kvalitet och ökad hållbarhet.

När produktionen ökar i mycket snabbare takt än befolkningen (q – s > 0) faller inte längre den teoretiska skattesatsen sk(t), vilket illustreras av kurvan A i figuren ovan. Förloppet skulle kunna bromsas om verksamheten successivt effektiviserades så att produktionen utfördes med färre resurser. Den extensiva produktionen med minskande kvot mellan produktion och produktionskostnader skulle då kunna närma sig en intensiv där kvoten ökar.

Baumols sjukdom skonar ingen verksamhet med svag produktivitetsutveckling. Men analysen har visat att sjukdomsförloppet är olika vid avgiftsfinansiering och skattefinansiering.

Kommentar SL

Som nämns i inledningen ökade produktionskostnaden per sittplatskm för SL:s busstrafik med 5,6 procent per år i fasta priser mellan åren 1998 och 2010. Under samma period ökade SL:s priser (30-dagarskortet) med 3,5 procent per år.

För att kunna upprätthålla en kostnadsökning av den storleksordningen krävs säkert mer än att bara lönerna ökar och att produktiviteten är konstant.

För det första kan kostnaderna för kapital och insatsvaror, (k) respektive (m), ökat snabbare än antalet sittplatskm (q). Om man blickar bakåt i tiden är detta inte svårt att föreställa sig. Satsningar har gjorts såväl för att höja busstrafikens kvalitet som att göra busstrafiken mer tillgänglig och miljövänlig.

För det andra bör kostnadsutvecklingen ha påverkats av en svag produktivitetsutveckling. I kostnadsmodellen definieras produktiviteten som arbetsproduktivitet, dvs.

A(t) = Q(t)/N(t),

där Q(t) anger produktion per år och N(t) arbetade timmar per år. Genom att differentiera får vi den årliga procentuella produktivitetstillväxten uttrycket i variablerna Q(t) och N(t)

dA(t)/A(t) = dQ(t)/Q(t) – dN(t)/N(t).

I de teoretiska resonemangen förutsätts att produktiviteten A(t) är konstant. Det innebär att produktivitetstillväxten dA(t)/A(t) antas vara lika med noll och att därför dQ(t)/Q(t) är lika med dN(t)/N(t). I klartext betyder detta att produktion och arbetade timmar antas växa i samma takt.

En hel del talar för att busstrafikens arbetsproduktivitet sjunkit sedan slutet av 1990-talet – alltså att antalet arbetade timmar i busstrafiken ökat mer än trafikproduktionen. Orsaker är bland annat ökad trängsel i trafiken, nya avtal och förändrade arbetstidsregler för bussförarna.

Priset

Den sjunkande produktiviteten i busstrafiken har drivit upp busstrafikens kostnader, vilket i sin tur bidragit till att priserna i SL-trafiken ökat (mellan busstrafikens kostnader och SL:s priser råder ett signifikant positivt samband). För att få hela bilden får man lägga till kostnaderna för kapital och insatsvaror. Men även kostnadsposternas andelar av totalkostnaderna måste avgränsas.

Skatten

Mellan 1998 och 2010 ökade befolkningen i Stockholms län med 1,1 procent per år och produktionen av sittplatskm i SL:s busstrafik med 0,7 procent per år(4). Om vi avgränsar oss till busstrafiken är det alltså sannolikt att skatteintäkterna under perioden ökat snabbare än trafikproduktionen.  Inom busstrafiken bör det därför ha uppstått ett ”överskott” av skatteintäkter av det slag som nämnts tidigare i texten. Dock kan överskottet mer eller mindre ha gått upp i rök på grund av svag produktivitetsutveckling och ökade kostnader för kapital och insatsvaror.

Avrundning

En angelägen uppgift är att öka produktiviteten i SL:s busstrafik. Eftersom bussföraren inte går att rationalisera bort(5) kan möjligheter till tjänsteutveckling övervägas. Ett exempel är snabbgående busstrafik som höjer omsättningshastigheten hos såväl arbetskraft som kapital. De elva stombusslinjer som SL presenterat skapar kanske en öppning för sådan trafik.

Hur resursmässigt hållbar är egentligen konventionell busstrafik? Behöver inte förädlingsgraden öka?

”We cannot solve our problems with the same thinking we used when we created them.”

(Albert Einstein)

”Ständigt denne Baumol” är det tredje och sista inlägget om Baumols sjukdom. Baumols tankegångar kan tillämpas på all kollektivtrafik.

----------------------------------------------------------------
(1) Produktiviteten definieras här som arbetsproduktivitet, dvs. produktion per arbetstimme. Förändringar i arbetsproduktiviteten kan alltså bero på att antalet arbetstimmar N(t) ökar eller minskar medan produktionen i övrigt är oförändrad. I vissa produktionssystem kan en förändring av antal arbetade timmar innebära att befintlig produktionsutrustning, inklusive insatsvaror måste kompletteras alternativt tas ur drift. Eftersom vi fortsättningsvis antar att produktiviteten A(t) är konstant bör denna ”extra effekt” kunna bortses ifrån.
(2) Det antas att lönenivån i verksamheten respektive i området kan vara olika. Löneutvecklingen antas däremot vara densamma.
(3) Verksamheter som finansieras med enbart biljettintäkter har alltså inte samma möjlighet
(4) Under samma period ökade resandet mätt i antal personkm med 1,5 procent per år.
(5) Just detta kan vara ett av skälen till varför privatfinansierade busslinjer i kollektivtrafiken inte är särskilt attraktiva för investerare. Se Neuraths börsblogg, Svd. ”Riskkapitalist: för låga marginaler i välfärd.” 2012-12-21.